La probabilità termodinamica

"Consideriamo una scatola contenente un'unica molecola che urta elasticamente contro le pareti. Filmando il sistema, quando poi se ne osserva la proiezione su uno schermo non esiste alcun modo per affermare se la pellicola gira nel proiettore in avanti o indietro."
Consideriamo ora un sistema di sei molecole in una scatola che abbia due settori comunicanti. Le molecole iniziano da uno stato in cui sono tutte accumulate nel settore sinistro. Al trascorrere del tempo il sistema, fluttuando, evolve verso lo stato più probabile .
Intuitivamente è chiaro che lo stato più probabile è quello in cui il 50% delle molecole stanno a sinistra e le altre a destra.
Ma, come al solito, dobbiamo quantificare: vediamo dunque cosa si intende per macrostato, microstato, probabilità termodinamica.
In questa animazione compaiono dei numerini che, con tutta probabilità, è il caso di spiegare.
Un macrostato è un possibile set di numeri di occupazione. Ad ogni macrostato corrisponde un certo numero di microstati. La probabilità termodinamica di un certo macrostato è data dal numero di microstati corrispondenti a quel macrostato.
Qui accanto abbiamo una possibile configurazione del sistema: 6 molecole a sinistra, 0 a destra. 6 e 0 sono i numeri di occupazione, il macrostato corrispondente è definito dal set di numeri di occupazione (N1=6, N2=0). Questo macrostato ha una probabilità termodinamica=1 in quanto ha un solo possibile microstato. Capiremo subito perchè è così prendendo in esame un altro macrostato: (N1=4,N2=2). Indichiamo le molecole con {a,b,c,d,e,f}. Il macrostato (N1=4,N2=2) si può realizzare nei modi che puoi vedere nella tabella qui sulla destra (ognuno dei modi è un microstato di questo macrostato):
sinistra
destra
cdef
ab
bdef
ac
bcef
ad
bcdf
ae
bcde
af
adef
bc
acef
bd
acdf
be
acde
bf
abef
cd
abdf
ce
abde
cf
abcf
de
abce
df
abcd
ef
se li conti (solo per questa volta), sono 15 microstati, quindi la probabilità termodinamica del macrostato (N1=4,N2=2) è uguale a 15. La formula di calcolo combinatorio che permette di contare il numero di microstati di un certo macrostato è la seguente: , dove N è il numero totale di molecole, N1 è il numero di molecole che stanno nel settore sinistro, N2 è il numero di molecole che stanno a destra (quindi nell'esempio appena fatto la probabilità termodinamica vale: ).
Bisogna aggiungere, ancora, che il numero totale di microstati (cioè la somma delle probabilità termodinamiche di tutti i possibili macrostati) è data da (nella fattispecie 64).
Nella tabella qua sotto è riportato il quadro complessivo per un sistema di 6 particelle:
N1
6
5
4
3
2
1
0
N2
0
1
2
3
4
5
6
1
6
15
20
15
6
1
dove = probabilità termodinamica.
Particolare interessante: la riga delle probabilità termodinamiche non ti ricorda un certo Tartaglia?

Che significa? Immaginiamo di fotografare il nostro sistema di 6 particelle molte volte (poniamo 640 volte). Statisticamente si troverebbe il sistema per 10 volte nello stato (N1=6,N2=0), per 60 volte nello stato (N1=5,N2=1), per 150 volte nello stato (N1=4,N2=2), per 200 volte nello stato (N1=3,N2=3), etc.
La probabilità di trovare il sistema nello stato (N1=4,N2=2), ad esempio, è pari a 15/64 cioè del 23% circa, lo stato più probabile è (N1=3,N2=3) per il quale la probabilità è 20/64 (31% circa), il meno probabile è (N1=6,N2=0) o (N1=0,N2=6): la probabilità di trovare tutte le 6 particelle a sinistra (o a destra) è 1/64 (meno del 2%).
Questa è la situazione per un sistema di sole 6 molecole; in questo caso, come si vede, abbiamo qualche speranza di cogliere il sistema nello stato con tutte le molecole a sinistra o tutte a destra. Ma l'ordine di grandezza del numero di molecole di un gas è quello del numero di Avogadro:
, quindi il numero totale di microstati è:
, che è il numero di foto che bisognerebbe scattare per sperare di trovare 1 volta il gas tutto a sinistra (o tutto a destra).

Boltzman
Parallelismo tra S ed omega